Pengertian
Kesebangunan
Perhatikan gambar persegi panjang ABCD dan PQRS di bawah ini! Pada persegi panjang ABCD memiliki panjang dan lebar yaitu 36 mm dan 24 mm, serta persegi panjang PQRS memiliki panjang dan lebar yaitu 58 mm dan 38 mm.
Perhatikan gambar persegi panjang ABCD dan PQRS di bawah ini! Pada persegi panjang ABCD memiliki panjang dan lebar yaitu 36 mm dan 24 mm, serta persegi panjang PQRS memiliki panjang dan lebar yaitu 58 mm dan 38 mm.
Perbandingan antara panjang persegipanjang ABCD dan panjang
persegi panjang PQRS adalah 36 : 144 atau 1 : 4. Demikian pula dengan lebarnya,
perbandingannya 24 : 96 atau 1 : 4. Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian
dari kedua persegipanjang itu memiliki perbandingan senilai (sebanding).
Perbandingan sisi yang bersesuaian dari kedua persegipanjang tersebut, yaitu
sebagai berikut.
AB/PQ = BC/QR = CD/RS = AD/PS = ¼
Oleh karena semua sudut persegipanjang besarnya 90° (siku-siku) maka sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu besarnya sama. Dalam hal ini, persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS memiliki sisi-sisi bersesuaian yang sebanding dan sudut-sudut bersesuaian yang sama besar. Selanjutnya, kedua persegipanjang tersebut dikatakan sebangun. Jadi, persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS.
Pengertian kesebangunan seperti ini berlaku umum untuk setiap bangun datar. Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi dua syarat berikut.
AB/PQ = BC/QR = CD/RS = AD/PS = ¼
Oleh karena semua sudut persegipanjang besarnya 90° (siku-siku) maka sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu besarnya sama. Dalam hal ini, persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS memiliki sisi-sisi bersesuaian yang sebanding dan sudut-sudut bersesuaian yang sama besar. Selanjutnya, kedua persegipanjang tersebut dikatakan sebangun. Jadi, persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS.
Pengertian kesebangunan seperti ini berlaku umum untuk setiap bangun datar. Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi dua syarat berikut.
- Panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun itu memiliki perbandingan senilai.
- Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun itu sama besar.
Contoh Soal 1
Jika persegipanjang ABCD sebangun dengan persegi panjang PQRS, hitung panjang QR.
Penyelesaian:
Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Oleh karena itu,
AB/PQ = BC/QR
2/6 = 5/QR
2QR = 30
QR = 15
Jadi, panjang QR adalah 15 cm.
Contoh Soal 2
Jika layang-layang KLMN dan layang-layang PQRS pada gambar di bawah ini sebangun, tentukan besar∠R dan ∠S.
Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Oleh karena itu,
AB/PQ = BC/QR
2/6 = 5/QR
2QR = 30
QR = 15
Jadi, panjang QR adalah 15 cm.
Contoh Soal 2
Jika layang-layang KLMN dan layang-layang PQRS pada gambar di bawah ini sebangun, tentukan besar∠R dan ∠S.
Penyelesaian:
Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar sehingga ∠P = 125° dan ∠Q = 80°. Amati layang-layang PQRS, menurut sifat layang-layang, sepasang sudut yang berhadapan sama besar sehingga ∠R = ∠P = 125°. Oleh karena sudut dalam layang-layang berjumlah 360° maka
∠P + ∠Q + ∠R + ∠S = 360°
Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar sehingga ∠P = 125° dan ∠Q = 80°. Amati layang-layang PQRS, menurut sifat layang-layang, sepasang sudut yang berhadapan sama besar sehingga ∠R = ∠P = 125°. Oleh karena sudut dalam layang-layang berjumlah 360° maka
∠P + ∠Q + ∠R + ∠S = 360°
125° + 80° + 125° + ∠S = 360°
∠S = 360° – 330° = 30°
Pengertian Kekongruenan
Pernahkah kamu melihat seorang tukang bangunan yang sedang memasang ubin? Sebelum ubin-ubin itu dipasang, biasanya tukang tersebut memasang benang-benang sebagai tanda agar pemasangan ubin tersebut terlihat rapi, seperti tampak pada gambar di bawah ini. Cara pemasangan ubin tersebut dapat diterangkan secara geometri seperti berikut.
∠S = 360° – 330° = 30°
Pengertian Kekongruenan
Pernahkah kamu melihat seorang tukang bangunan yang sedang memasang ubin? Sebelum ubin-ubin itu dipasang, biasanya tukang tersebut memasang benang-benang sebagai tanda agar pemasangan ubin tersebut terlihat rapi, seperti tampak pada gambar di bawah ini. Cara pemasangan ubin tersebut dapat diterangkan secara geometri seperti berikut.
Gambar di atas adalah gambar permukaan lantai yang akan
dipasang ubin persegipanjang. Pada permukaannya diberi garis-garis sejajar.
Jika ubin ABCD digeser searah AB (tanpa dibalik), diperoleh A => B,
B => E, D => C, dan C => F sehingga ubin
ABCD akan menempati ubin BEFC. Akibatnya,
AB => BE sehingga AB = BE
BC => EF sehingga BC = EF
DC => CF sehingga DC = CF
AD => BC sehingga AD = BC
∠DAB => ∠CBE sehingga ∠DAB = ∠CBE
∠ABC => ∠BEF sehingga ∠ABC = ∠BEF
∠BCD => ∠EFC sehingga ∠BCD = ∠EFC
∠ADC => ∠BCF sehingga ∠ADC = ∠BCF
Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh
AB => BE sehingga AB = BE
BC => EF sehingga BC = EF
DC => CF sehingga DC = CF
AD => BC sehingga AD = BC
∠DAB => ∠CBE sehingga ∠DAB = ∠CBE
∠ABC => ∠BEF sehingga ∠ABC = ∠BEF
∠BCD => ∠EFC sehingga ∠BCD = ∠EFC
∠ADC => ∠BCF sehingga ∠ADC = ∠BCF
Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh
- sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama panjang, dan
- sudut-sudut yang bersesuaian dari persegi panjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama besar.
Hal tersebut menunjukkan bahwa persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Dua persegi panjang yang demikian dikatakan kongruen.
Berdasarkan uraian tersebut diperoleh gambaran bahwa dua bangun yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua bangun yang sebangun belum tentu kongruen. Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen. Pengertian kekongruenan tersebut berlaku juga untuk setiap bangun datar.
Contoh Soal 1
Perhatikan gambar di bawah ini! Apakah persegipanjang ABCD kongruen dengan persegi panjang PQRS dan apakah persegipanjang ABCD sebangun dengan persegi panjang PQRS? buktikan!
Penyelesaian:
Unsur-unsur persegipanjang ABCD adalah AB = DC = 8 cm, AD = BC = 6 cm, dan ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°. Amati persegipanjang PQRS dengan diagonal PR. Panjang PQ dapat ditentukan dengan menggunakan Dalil Pythagoras seperti berikut.
PQ = √(PR)2 - (QR)2
PQ = √(10)2 - (6)2
PQ = √64
PQ = 8
Jadi, unsur-unsur persegipanjang PQRS adalah PQ = SR = 8 cm, PS = QR = 6 cm, dan ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S = 90°. Dari uraian tersebut tampak bahwa sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sama panjang. Selain itu, sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu sama besar. Jadi, persegipanjang ABCD kongruen dengan persegipanjang PQRS. Dua bangun datar yang kongruen pasti sebangun. Jadi, persegi panjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS.
Unsur-unsur persegipanjang ABCD adalah AB = DC = 8 cm, AD = BC = 6 cm, dan ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°. Amati persegipanjang PQRS dengan diagonal PR. Panjang PQ dapat ditentukan dengan menggunakan Dalil Pythagoras seperti berikut.
PQ = √(PR)2 - (QR)2
PQ = √(10)2 - (6)2
PQ = √64
PQ = 8
Jadi, unsur-unsur persegipanjang PQRS adalah PQ = SR = 8 cm, PS = QR = 6 cm, dan ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S = 90°. Dari uraian tersebut tampak bahwa sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sama panjang. Selain itu, sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu sama besar. Jadi, persegipanjang ABCD kongruen dengan persegipanjang PQRS. Dua bangun datar yang kongruen pasti sebangun. Jadi, persegi panjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS.
Sub BAB STATISTIKA
Penyajian Data
Dalam sub bab ini akan di bagi menjadi beberapa sub pokok
bahasan lagi yaitu : Pengertian Data dan Statistika, Populasi dan Sampel,
Penyajian Data dalam Bentuk Tabel & Penyajian Data dalam Bentuk Diagram.
1. Pengertian Data dan Statistika
Statistika tak pernah bisa lepas dengan yang namanya data,
jadi lebih dulu kita akan membahas apa itu yang dinamakan dengan data, data
merupakan sekumpulan dantum yang dimana dantum itu sendiri merupakan fakta
tunggal.
Menurut jenisnya, data dibedakan jadi 2 macam, yaitu:
a. Data
Kuantitatif,
yang disebut
dengan data kuantitatif adalah sebuah data yang berupa bilangan dan nilai dari
data
tersebut bisa berubah-ubah.
Misal:
Jumlah siswa Kelas 9 SMP semangat 45 sebanyak 650 siswa.
b. Data Kualitatif,
sedang data
kualitatif adalah data yang menggambarkan keadaan suatu objek yang dimaksud.
Misal :
Selain sopan, Andri juga cerdas.
2. Populasi dan Sampel
Untuk dapat menarik kesimpulan, kadang tidak diambil
berdasarkan keseluruhan datayang ada.
Misalnya, seorang peneliti yang menguji kandungan air di
sebuah sungai untuk mengetahui apakah air sungai tersebut layak minum atau
tidak.
Untuk mengetahuinya, tentunya peneliti tidak harus menguji
semua air yang ada di sungai tersebut. Peneliti cukup mengambil satu gelas air
untuk diuji. Nah pada kasus penelitian ini dapat kita ketahui bahwa sungai
sebagai populasi sedang segelas air tersebut dinamakan sampel.
3. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel
Untuk memudahkan dalam hal pembacaan sebuah data biasanya
dari data acak, akan dibuat data yang lebih ringkas dalam hal ini dalam bentuk
tabel untuk lebih jelasnya silahkan lihat gambar berikut :
 |
|
gb.1 data acak
|
 |
|
gb.2 data dalam
bentuk tabel
|
Menurut kalian lebih mudah mana pembacaan datanya ? tentunya
dengan data yang disajikan dengan tabel lebih mudah untuk dipahami bukan?
4. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram
Ada 4 bentuk diagram yang bisa digunakan dalam penyajian
data kali ini antara lain :
a. Diagram Gambar
b. Diagram Batang
c. Diagram Garis
d. Diagram Lingkaran
Ukuran
pemusatan data
Mari kita lanjut pelajaran statistika matematikanya kali ini
pada sub pokok bahan 2 yaitu ukuran pemusatan data, dimana dalam sub pokok
bahasan ini berhubungan dengan : mean, modus dan median, mari kita uraikan satu
persatu :
1. Mean
Mean atau rata-rata merupakan salah satu ukuran pemusatan
data, secara mudahnya yang disebut dengan mean adalah jumlah seluruh dantum
dibagi dengan banyaknya dantum. mean biasanya dilambangkan dengan huruf kecil
diatasnya. jika dituliskan dengan rumus maka menjadi : Ukuran Pemusatan Data -
rumus mean
2. Modus
Dalam 10 kali ulangan statistika matematika, Ucok memperoleh
6 kali nilai 8. dan yang lainnya mendapat nilai 7, 4, 6, 7. didalam statistika
matematika nilai yang sering muncul inilah yang disebut dengan modus. Modus
bisa saja tidak hanya satu dan bahkan bisa saja dalam suatu rangkaian nilai
tidak ada modusnya karena semua data/nilai berbeda semua tidak ada yang sama. kesimpulannya
kumpulan nilai ucok dalam ulangan statistika matematika tersebut adalah angka
8, karena angka 8 lah yang sering muncul yaitu sebanyak 6 kali dalam sepuluh
ulangan.
3. Median
yang disebut dengan median adalah nilai tengah suatu data
yang sudah diurutkan. gimana sudah jelaskan...? jadi median adalah membagi
dantum menjadi 2 bagian sama banyak dan kemudian dicari nilai yang berada
ditengahnya.
untuk lebih jelasnya mengenai median silahkan lihat contoh
berikut :
contoh 1 materi statistika - median
Tentukan median dari data berikut.
9, 7, 5, 6, 6, 8, 7
Jawab:
Urutkanlah datanya terlebih dahulu.
5, 6, 6, 7 , 7, 8, 9
karena jumlah dantumnya ganjil yaitu ada 7 dantum maka mediannya yaitu nilai
ke-4.
jadi di dapat median dari sekumpulan nilai tersebut adalah 6
contoh 2 materi statistika – median berikut adalah nilai budi dalam ulangan
statistika matematika selama 8 kali : 7, 7, 10, 8, 6, 6, 7, 8. Tentukan median
nilai-nilai budi tersebut..
Jawab: seperti biasanya sebelum kita mencari median
kita harus mengurutkan datanya terlebih dahulu. 6, 6, 7, 7, 7, 8 8, 10 (banyak
datum = 8 (genap)). karena jumlah dantumnya genap ( 8 ) maka median atau nilai
tengahnya yaitu jumlah nilai ke-4 dan ke-5 dibagi 2, yaitu 7 + 7 = 14 dibagi 2
= 7 jadi didapat median dari nilai budi yaitu 7
Ukuran
penyebaran data
Dalam pokok bahasan
ini kita akan membahas mengenai jangkuan dan kwartil.
1. Jangkauan
Jangkauan adalah selisih datum terbesar dengan datum
terkecil. Jangkauan biasanya dilambangkan dengan huruf J. seperti halnya
mencari median dalam sub pokok bahasan kedua, untuk mencari jangkauan suatu
data kita juga diwajibkan ( kalo nggak dilakukan berarti dosa ^_^ ) untuk
mengurutkan datanya terlebih dahulu.
Ø
contoh soal mengenai jangkuan ya :
Tentukan jangkauan dari data berikut.
a. 26, 40, 18, 25, 16, 45, 30
b. 15, 15, 15, 15, 15
Jawab:
a. Urutkan data terlebih dahulu.
16, 18, 25, 26, 30, 40, 45
Datum terkecil Datum terbesar
J = datum terbesar – datum terkecil
= 45 – 16 = 29
Jadi, jangkauan data tersebut adalah 29.
2. Kuartil
Kuartil suatu data dapat diperoleh dengan membagi data
terurut menjadi 4 bagian sama besar. Kuartil terdiri atas tiga macam,
yaitu:
a. kuartil bawah
b. kuartil tengah/median
c. kuartil atas
Jika suatu data dilambangkan dengan garis lurus, letak kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atasnya adalah sebagai berikut
untuk lebih jelasnya mengenai kuartil silahkan perhatikan gambar ilustrasi berikut :
a. kuartil bawah
b. kuartil tengah/median
c. kuartil atas
Jika suatu data dilambangkan dengan garis lurus, letak kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atasnya adalah sebagai berikut
untuk lebih jelasnya mengenai kuartil silahkan perhatikan gambar ilustrasi berikut :
